Историја теорије вјероватноће

Историја би, наравно, требала дати увид у вријеме и мјесто важних догађаја и њихова тумачења. Међутим, веома је контраверзно питање избора и наглашавања интерпретације, нпр. да ли је за историју математике најважније држати се, као ми овдје: проблема, метода и особа? Такође, да ли треба једноставно хронолошки слиједити проблеме вјероватноће и статистике и њихову научну и социјалну позадину? Треба ли се увијек сложити да су три најважнија лика у овој области били Паскал, Лаплас и Колмогоров?

Наиме, развој теорије вјероватноће био је фундаменталан за развој низа других дисциплина, као што су статистика, теорија информације, или математичка теорија игара.

Античко доба

За сада нема јасних доказа да су се у Месопотамији (6000-1100. г. п.н.е.), Цивилизацији Долине Инда (3300–1300. п.н.е.), Старом царству Египта (3000-2000. п.н.е.), Средњем царству Египта (2000-1300. п.н.е.), Шанг династји Кине (1800-2200. п.н.е.), Новом царству Египта (1300- 700. п.н.е.), или Чоу династији Кине (1200-500. п.н.е.) бавили проучавањем нечега што би личило на модерну теорију вјероватноће. Тачније речено, за сада ми немамо доказе о постојању директних утицаја ових старих цивилизација на стварање модерне науке о вјероватноћи.

Старе цивилизације су углавном биле заробљене идејом апсолутне истине. У науци су тражиле извјесност сличну античкој грчкој чију доктрину је изражавао Платонов Федон у Дијалозима: "аргументи на основу вјероватноће су наметнути". Тек је Карнеад (грч. Καρνεάδης, 214/3-129/8 г. п.н.е.) у 2. вијеку п.н.е. провирио из традиционалног грчког реализма ка почетној теорији вјероватноће разликујући три врсте могућности, али без дубљег разумјевања случајног догађаја и шансе. Затим је трајао дуги период стагнације у разумјевању природе случајности све до краја средњег вијека, када је почео научни успон Европе.

Развијени средњи вијек, 10-13.

Најталентованији математичар средњег вијека био је италијан Леонардо Фибоначи (Leonardo Fibonacci, око 1170 – 1250.), заинтересован за аритметику од ране младости. Путовао је Грчком, Египтом, Сиријом и имао је прилику да се на истоку сретне са арапским математичарима. Када се вратио кући 1202. Фибоначи је написао фамозну Књигу о рачуну (Liber abaci), темељну за даљњи развој алгебре у Европи и појаву низа нових математичких дисциплина, међу којима и теорије вјероватноће.

Почетак развоја науке и математике у Западној Европи дешава се негдје у вријеме експанзије Отоманске империје на Византију. У периоду ране ренесансе, од 1100. до око 1400. године европска знања су заснивана не на грчкој, већ на исламској науци. Дјела великог Архимеда, Аполонија, Птоломеја, Менелаја, Ал Хорезмија превођена су са арапског на латински, или су стизала са ученим људима који су бјежећи са истока са својим књигама доносили у западну културу и своје навике, стварајући западну цивилизацију која је у наредних неколико вјекова постајала уморна од догми.

Период Ренесансе

Два вијека након Фибоначија у Италији су се појавила три математичара које можемо сматрати претходницом научних разматрања у вези са играма на срећу.

Европски математичари 15. и 16. вијека
Luca Pacioli, 1445 – 1517.	Nicolo Tartaglia, 1500 – 1557.	Girolamo Cardano, 1501 – 1576.

Италијански математичар Лука Пакиоли (Luca Pacioli, 1445 – 1517.) је објавио једну утицајну књигу (Suma, 1494.) у којој је сумирао сво математичко знање тог времена. Италијански математичар Николо Тартаља (Nicolo Tartaglia, 1500 – 1557.) нам је најпознатији по свом алгебарском рјешавању кубне једначине које је касније објавио Кардано.

Ђироламо Кардано (Girolamo Cardano, 1501 – 1576.) био је италијански лијекар и математичар нама познат по своме дјелу Велико умјеће (Ars Magna, 1545.), првом трактату на латинском посвећеном искључиво дотадашњој хинду-арапској алгебри. Мање је познато да је Кардано учинио прве озбиљне кораке да објасни концепт шансе. У Књизи о коцкарским играма (Liber de Ludo Alea), која је објављена постхумно 1663. он је изнео груби концепт матматичког очекивања, извео закон потенција поновљених догађаја и осмислио дефиницију вјероватноће као количника фреквенција. Кардано је означио са „круг“ (лат. circuitu) укупност дозвољених исхода свих догађаја. Круг је био 6 за једну коцку, 36 за двије коцке, 216 за три коцке. Затим је дефинисао вјероватноћу као збир појединачних могућих начина исхода подјељену са кругом.

Кардано је истраживао вјероватноће бацања астралагуса и објашњавао релативно појављивање комбинација карата, нарочито за игру Примеро, помало сличну данашњем Покеру. Вијек прије Антоана де Мера, он је поставио проблем неопходног броја бацања двије коцке одједном да би се бар једном добила два аса (одговорио је 18, умјесто тачне вриједности 24,6).

Енглески историчар Хенри Морли је о Кардану написао: „Он је био геније, будала, и шарлатан који је прихватао у увећавао сва празновјерја свога доба, и сва њихова учења“.

Слиједећи Кардана, писано је неколико неповезаних радова о неизвјесности игара на срећу. Кеплер се једном приликом изјашњавао о том предмету, и кратко на почетку 17. вијека, а Галилео је написао свој краћи осврт (Considerazione sopra il Giuoco dei Dadi). Група флорентинских племића су тражили од Галилеја да им објасни зашто се збир 10 појављује чешће него збир 9 у бацању 3 коцке. Славни математичар им је показао да од 216 има 27 начина за збир 10, док се збир 9 јавља на само 25 начина.

Први документовани докази кориштења теорије вјероватноће потичу из 17. вијека, прецизније од Антоана Гомбо, 1654. године. Антоан Гомбо, витез од Мера (Antoine Gombaud, Chevalier de Méré, 1607. – 1684.) био је француски писац, који је образовање стекао у Меру, а титулу витеза је узео према лику из својих дијалога. Када је постао значајан салонски теоретичар, пријатељи су почели да га ословљавају са Шевалијер де Мер. Његови најпознатији есеји су Поштен човјек (L'honnête homme) и Предавање о истинском поштењу (Discours de la vraie honnêteté). Математиком се бавио из хобија рјешавајући стари „проблем поена“, или популарну „игру коцке“, ради којих је постао далеко познат.

Проблем поена (проблем подјеле добити) настаје, рецимо, када два играча играју седам дуела, а побјеђује онај који на крају има више побједа. Питање је како подјелити почетни улог, ако играчи морају да прекину игру у тренутку када игра још није завршена?

Проблем коцке настаје бацањем пара коцки више пута. Питање је да ли се треба кладити на бар једну двоструку шестицу у 24 бацања? Зашто то није једнако шанси да се бар једна шестица појави у 4 бацања једне коцке?

Де Мер је 1654. године вјеровао да се исплати кладити се на двоструку шестицу у 24 бацања пара коцки, али му је рачун показивао управо супротно. Према тадашњем кодексу салонског понашања, Мер је изазвао Мерсенов салон да рјеши овај проблем, а познати француски математичар Блез Паскал је прихватио изазов.

Блез Паскал је тада поставио основе на којима и данас стоји теорија вјероватноће.

Центар научног и света математике у првој половини 17. века био је Марин Мерсен (Marin Mersenne, 1588 – 1648.), француски теолог, филозоф, математичар и теоретичар музике, кога често називају и „оцем акустике“. Био је веома познат савременицима јер је водио сталну коресподенцу са највећим математичарима тог времена, али је у историју ушао прије свега као оснивач прве европске научне академије.

Европски математичари 16. - 17. вијека
Marin Mersenne, 1588 – 1648.	Blaise Pascal, 1623 – 1662.	Pierre de Fermat, 1601 – 1665.

Члан Мерсенове академије био је и локални судија у Клермону Етјен Паскал (1588 –1651) који се и сам интересовао за науку и математику. Он је био отац поменутог Блеза Паскала (Blaise Pascal, 1623 – 1662.) , француског математичара, физичара и филозофа. Блез је од малена показивао интересовање за науку па је већ са 14 година заједно са својим оцем присуствовао на Мерсеновим састанцима. Као 16-о годишњак је код Мерсена предао свој рад о теоремама из пројективне геометрије са мистичним шестоуглом. Есеј о конусним пресјецима је објавио 1640, а са 18 година је конструисао прву математичку машину, механички сабирач како би помогао свом оцу у пословању. Прије 1647. Блез Паскал је обавио низ експеримената о атмосферском притиску, када је објавио доказ да постоји вакуум. Августа 1648. је извео закључак да је вакуум изнад атмосфере.

Након смрти свог оца Етјена којем је био треће дјете и једини син, Блез Паскал је постајао све више религиозан због чега се на крају престао бавити науком. Ипак, маја 1653. он је написао свој чувени Трактат о равнотежи течности (Treatise on the Equilibrium of Liquids), гдје је објаснио Паскалов закон о притиску и комплетну хидростатику. Извођење конусних пресјека (The Generation of Conic Sections), углавном комплетирано 1648. Паскал је допуњавао 1653. и 1654, до када је завршио и своју студију о Паскаловом троуглу (Treatise on the Arithmetical Triangle), постхумно објављеној. Све то се догађало до 1654. када се Блез Паскал суочио са изазовом Де Мера.

Christiaan Huygens

Дописујући се са Фермом, Блез Паскал је у љето 1654. засновао теорију вјероватноће. Ту коресподенцу чини пет писама која разматрају поменуте проблеме поена и коцке, оба већ третирана од стране Кардана и негдје у исто вријеме од стране Пакиолија и Тартаље, али до тада са рјешењем проблема поена за само два играча. Бриљантност Паскала у рјешавању истих проблема је до тада у историји науке непревазиђена. Са друге стране, његови прорачуни су били дјелимично нетачни, за разлику од Ферминих који је са много већом прецизношћу разматрао посебно зависне од независних вјероватноћа. Рјешавајући проблем поена, Паскал је открио и развио приступ сличан данас у математици познатом рачуну коначних разлика.

У каквим је условима Паскал радио на задацима Де Мера тек се наслућује у тексту које је написао Ферми јула 1654. године: „... мада сам још увијек прикован за кревет, морам ти рећи да сам синоћ добио твоје писмо“. Нарушеног здравља тог љета је доживео и саобраћајну несрећу са коњском запрегом, када је у кочији остао да виси изнад ријеке Сене. Исте године, 25. новембра преобратио се у хришћанство.

Паскал је умро у 39. години од рака у стомаку који се проширио и на његов мозак.

Пјер де Ферма (Pierre de Fermat, 1601 – 1665.) био је француски правник у тулуском парламенту и математичар аматер. Ушао је у историју науке по својим радовима из теорије бројева (Ферматова посљедња теорема), по доприносима у открићу теорије вјероватноће заједно са Блезом Паскалом, и по својим доприносима у открићу инфинитезималног рачуна. Уз Декарта, један је од најзначајнијих математичара Француске 17. века.

Кристијан Хајгенс (Christiaan Huygens, 1629 – 1695.) био је низоземски математичар који је патентирао први часовник са клатном, чиме је мјерење времена постало веома важно. Један је од оснивача механике, а имао је значајне радове из астрономије и вјероватноће. Након своје прве посјете Паризу 1655, упознао се са коресподенцом Паскала и Ферме и већ 1657. у Холандији је објавио свој мали рад о коцкању (De Ratiociniis in Ludo Aleae), први штампани рад о инфинитезималним вјероватноћама. Ту је третирао проблеме у вези са коцкањем.

Нови вијек

Готфрид Лајбниц (Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646 – 1716.) је такође објавио један рад о вјероватноћи (Dissertatio de Arte Combinatoria, 1666.), гдје је, не нарочито ригорозно, установио да пар бачених коцки са истом вјероватноћом дају збир 11 и 12. Енглески математичар Џон Валис (John Wallis, 1616 – 1703.) је приложио кратак рад о комбинацијама и пермутацијама, као и шпански језуита Јуан Карамуел (Juan Caramuel de Lobkowitz, 1606 - 1682.). Кратку дебату о статистици држао је Џон Гронт (John Graunt, 1620 - 1674.) у својој књизи о расту популације (Natural and Political Observations Made Upon the Bills of Morality, 1662.). Холандски политичар Џон де Вит (Johan de Witt, 1625 - 1672.) иначе математичар по образовању, анализирао је проблем ануитета помоћу вјероватноћа, а енглески астроном Едмунд Халеј (Edmond Halley, 1656 - 1742.) објавио је прве комплетне таблице смртности ради потреба осигурања живота. Међутим, по неким математичким стандардима, нити један од ових радова се не сматра нарочитим постигнућем.

Због игара на срећу и због предузећа која су се бавила осигурањем, вјероватноћа је постајала све популарнија, убрзано се развијајући током 18. вијека. Ипак, она је за математику још увијек била лоше заснована, тзв. наивна теорија вјероватноће, све до појаве нових компетентних математичара, међу којима је први био Јакоб Бернули.

Jacob Bernoulli

Швајцарски математичар Јакоб Бернули (Jacob Bernoulli, 1654 – 1705.) био је први од знамените математичке династије Бернули. Предавао је механику на универзитету у Базелу, када је објавио папире о алгебри и вјероватноћи 1685, о геометрији 1687, да би исте године био именован за професора математике у Базелу. Јакобов највећи допринос статистици је рад на бесконачним низовима 1689, гдје се појавио његов Закон великих бројева. Доказао је да понављан случајни догађај слиједи једну линију фреквенције од које одступа све мање и мање, што је број понављања већи. Био је први који је користио рјеч "интеграл" и који је помоћу инфинитезималног рачуна истражио геометријске особине функција вјероватноће. У раду Умјеће претпоставки (Ars Conjectandi) развио је теорију пермутација и комбинација. Четвртина тог рада (објављеног постхумно 1713.) односила се на игре на срећу. Јакоб Бернули је писао и друге прилоге о комбинацијама коцки, о проблемима трајања игре, анализирао је картарошке игре (нпр. тада популарну trijaques). Класична дефиниција вјероватноће је у суштини изведена из Бернулијевих радова. Био је толико обузет истраживањем логаритамске спирале да је тражио да му се на гробу напише: "Трансформисан дићи ћу се непромјењен." (лат. Eadem mutata resurgo).

Француски математичар Пјер Монмор (Pierre Rémond de Montmort, 1678 - 1719.) објавио је један рад о случајности (Essay d'analyse sur les jeux de hazard, 1708.) који широко третира анализу комбинација и вјероватноћи коцки и карата. У игри Тринаестице (фр. Treize) или Састанака (Rencontres), Монмор је први који је рјешио проблем поклапања, вјероватноћа да се вриједност карте подудари са редним бројем са којим је извучена.

Такође, он је израчунао математичка очекивања неколико запетљаних коцкарских игара: Quinquenove, Hazard, Esperance, Trois Dez, Passedix и Rafle, поред осталих.

Абрам де Моавр (Abraham de Moivre, 1667 - 1754.) био је француски математичар који је слиједећи Монмора написао Доктрину шанси (Doctrine of Chances, 1718.) на енглеском, јер је живео у Енглеској бјежећи од Хугенота. Издржавао се подучавајући, али и као статистичар у Slaughter's Coffee House у Лондону гдје су му коцкари плаћали да им израчунава шансе за добитак. Он је развио теорију о комбинацијама коцке, о пермутацијама, о неким картарошким играма (нпр. Whist) и нашао услове прве теореме о лимесима. Касније је обрадио проблеме подударања, трајања игре, проблеме управљања ризиком (probability of ruin), затим математичка очекивања и рекурзивне низове. Слиједећи радове свог пријатеља Исака Њутна и користећи своје апроксимације за биномне развоје (1733.) открио је Нормалну расподјелу вјероватноћа. Живећи у кафанама са лондонским коцкарима, Де Моавров стил писања је био такав, коцкарски.

18. вијек

У првој половини 18. вијека су неколико доприноса играма на срећу и теорији вјероватноће дали математичари Николаус Бернули (Nicolaus Bernoulli, 1687 - 1759.) и Томас Симпсон (Thomas Simpson, 1710 – 1761.) одговоран за увођење идеје континуитета у вјероватноћу (1756.). Они су анализирали картарошке игре и рјешавали сложене ситуације са коцкама.

Данијел Бернули (Daniel Bernoulli, 1700 – 1782.) је разрадио дефиницију ризика и математичког очекивања помоћу диференцијалног рачуна. Заједно са Моавром значајан је због разумјевања употребе лимеса у у теорији вјероватноће. Чувени Швајцарски математичар који је живео у Москви Леонард Ојлер (Leonhard Euler, 1707 - 1783.), иначе много више заинтересован за друге области математике, развио је теорију партиција, предмет који се први пут појавио у писму Лајбница послатоm Јохану Бернулију (1669.). Партиција природног броја, тзв. цјелобројна партиција, је начин писања тог броја као збира позитивних цијелих бројева (нпр. 4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1). Касније, у својим мемоарима (Calcul de la probabilité dans le jeu de rencontre, 1751.) Ојлер је израчунао различите лутријске низове и комбинације тикета.

Рон Д'Аламбер (Jean le Rond d'Alembert, 1717 - 1783.), француски математичар, физичар, филозоф и теоретичар музике, био је најпознатији по свом контрирању научним теоријама свог времена. Према Д'Аламберу, резултат бацања три новчића одједном разликује се од три бацања једног новчића. Такође, вјеровао је да Писмо вјероватније пада након много бацања, и проширио је увјерење да је веома мала вјероватноћа практично једнака нули. Та идеја води у систем прогресивног клађења назван по њему. Једнако су биле продорне и његове анализе игара са картама и коцком.

Thomas Bayes?

Бајес (Thomas Bayes, 1702-1761.) је завршио факултет у Единбургу за свештеника али је истовремено студирао и математику. Постао је члан Краљевског удружења 1742. гдје је препоручен због своје "вјештине у геометрији и свим дјеловима математике и филозофије". Написао је само један прилог из вјероватноће (An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances, 1763.), постхумно објављен. Мада се доказ његове формуле ослањао на лош постулат, био је први који је за математичку вјероватноћу користио индукцију, тј. полазио је од узорка популације, или од појединачног ка општем. Док је Лаплас дефинисао вјероватноћу пребројавањем дискретних јединица, Бајес је формулом дефинисао континуалну дистрибуцију вјероватноће између било којих граница, али се није бавио метриком континуума. Касније, прво са примједбама од стране Лапласа и Гауса, а затим са критикама Фишера и Нојмана, Бајесове методе су коначно, од 1950. широко прихваћене. Бајесова теорема је, са извјесним ризиком, основа за тестирање статистичких хипотеза.

Joseph Louis Lagrange

Лагранж (Joseph Louis Lagrange, 1736 – 1813.) математичар и астроном рођен у Пијемонту (сјевер-запад Италије), био је дјелом живота у Пруској, а дјелом у Француској. Рјешио је многе од проблема вјероватноће које су претходно поставили Моавро, Бегуелин (Nicolaus Béguelin, 1714 - 1789.), Бифон. а које је касније објавио Џон Бернули као сувопарне чланке о играма на срећу и инфинитезималним рачуну вјероватноћа, током друге половине 18. вијека. Француски филозоф и математичар Маркиз де Кондорсе (Marie-Jean-Antoine-Nicolas de Caritat, или marquis de Condorcet, 1743 - 1794.) је тој доктрини дао кредибилитет: Мјерење математичке вјероватноће требамо сматрати као тачну мјеру нашег степена вјеровања.

Поменути Бифон (Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon, 1707 - 1788) је био француски математичар, космологист, природњак и аутор енциклопедије. У свом дјелу Политичка аритметика (1777.), разматрао је шансу да Сунце сутра изађе и нашао да је то вјероватноћа 1 - (0,5)^x, гдје је x број дана прије тога познатих да је Сунце излазило. Један други допринос Бифона било је установљење да најмања практична вјероватноћа мора бити 1/10 000. Ипак, данас је највише познат проблем Бифонове игле: Игла дужине l се случајно баца на раван исцртану паралелним правама између којих је растојање d. Ако је l < d онда је вјероватноћа да ће игла пресјећи једну од линија 2l/πd.

Наш математичар Руђер Бошковић (Rogerius Josephus Boscovich, 1711-1787.) рођен је у Дубровнику, студирао у Риму и прво био професор математике у Павији (Италија), да би касније прешао у Француску, примио француско држављанство и био директор Оптике за поморство. Најпознатији је по своме дјелу Теорија природне филозофије. Бошковић је био први који је примјенио вјероватноћу у теорији грешака.

За разумјевање прихватања идеја вјероватноће на почетку новог вијека важно је подсјетити се свеобухватног скептицизма који је растао током периода Ренесансе и Реформације. Учење о извјесности у науци, филозофији и теологији је оштро нападано. Контраверзни енглески црквењак Вилијам Чилингворт (William Chillingworth, 1602 - 1644.) је промовисао гледиште да човјек није у стању да досегне апсолутно религијско знање. Инсистирао је на ограниченој сумњи заснованој на здравом разуму. Чилингвортова становишта су касније прихватана у научној теорији и пракси од стране Гленвила (Joseph Glanvill, 1636 – 1680.), Бојла (Robert Boyle, 1627 – 1691.) и Њутна (Isaac Newton, 1642 - 1727.) и филозофски презентована од стране Лока (John Locke, 1632 - 1704.), оца либерализма.

Pierre-Simon Laplace

Са друге стране је стајала тврда вјера у детерминизам природе. Инспирисан Њутновом физиком, Лаплас (Pierre-Simon Laplace, 1749 – 1827.) је једном приликом написао:

"Ум који би знао све у датом моменту активне силе природе, као и релативан положај свих честица које је чине, и уз то био довољно обиман да би све те податке могао подвргнути математичкој анализи, могао би обухватити једном формулом кретање како највећих тијела у васиони тако и најситнијих атома у њој; за њега не би било ништа неодређено и он би подједнако јасно видјео како будућност тако и прошлост".

Питања која се односе на вјероватноћу, према Лапласу, постављају се зато што смо само дјелимично информисани, а његова цитирана изјава је оно што се у 18. вијеку подразумјевало под механичким материјализмом.

Па ипак, Лаплас је радио и на развоју теорије вјероватноће. У свом раду Аналитичка теорија вјероватноће (Théorie analytique des probabilités, 1812.) написао је: "Значајно је да је наука која је почела са разматрањем игара на срећу постала најважнији објекат људског знања. ... Најважнија питања живота су, за много шта, заиста само проблеми вјероватноће.". Књига је имала два дјела кроз које је пролазила основна идеја функције Генератрисе. Лаплас је увео и показао значај те методе за рјешавање разних једначина. Увео је Лапласову трансформацију, која је касније постала основа Хевисајдовог оперативног рачуна. Извукао је из заборава идеју инверзне вјероватноће, тзв. Бајесову формулу (којој је име касније дао Поенкаре). У истој књизи бавио се математичким очекивањем, апроксимацијама вјероватноће, методом најмањих квадрата. Слиједећа издања су имала додатке из астрономије. То је прва фундаментална књига из теорије вјероватноће икада написана, а садржај је остао познат као теорија вјероватноће a posteriori. Када га је Наполеон прекорио што се у његовој књизи не помиње бог, Лаплас је одговорио: "мени није потребна та хипотеза" (je n'avais pas besoin de cette hypothese).

Касније у својим мемоарима, Лаплас је истраживао примјене генерисаних функција, проблеме статистике рађања, Француску лутрију (извлачење 5 од 90 бројева), и поопштио је Монмортов проблем подударања. Лаплас је остао познат и по својим промјенама политичких ставова. Био је Наполеонов министар унутрашњих послова, па ипак је именован маркизом 1817, царским званичником, након рестаурације Бурбона.

Емпиријски филозоф, економиста и историчар Дејвид Хјум (David Hume, 1711 — 1776.) проучавајући вјероватноћу закључио је да случајни догађаји имају нешто субјективно. Држao се каузалног концепта. Хјум није био спреман да прихвати значај индуктивног закључивања и није овладао математиком, тако да су његове филозофске идеје остале недоречене. Филозоф и свештаник Бернард Болцано промовисао је вјероватноћу као релативну фреквенцију.

19. вијек

Почетак 19. вијека је донио напредак у разумјевању случајних догађаја. Слиједећи Лапласа, Денис Поасон (Siméon Denis Poisson, 1781 - 1840.) био је први који је дефинисао вјероватноћу као: "лимес фреквенције" (Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile, 1837.), рад који је садржавао конкретан Закон великих бројева. Британски математичар и логичар Аугуст де Морган (Augustus De Morgan, 1806 – 1871.), попут Лапласа је сматрао да се вјероватноћа односи на стање ума. Сматрао је да знање никада није извјесно а мјера снаге наше вјере је вјероватноћа исказана релативном фреквенцијом појављивања случајног догађаја (Лаплас би рекао: "случајност је израз људског незнања").

Carl Friedrich Gauss

Гаус (Carl Friedrich Gauss, 1777-1855.) је један од највећих математичара свих времена, прије свега због своје теорије грешака, методе најмањих квадрата, проучавања кретања небеских тијела, конусних пресјека, али и због повезивања својих радова са различитим закључцима у области теорије вјероватноће и статистике. Примјенио је теорију вјероватноће у астрономским истраживањима.

У Викторијанској Европи послије Гауса код математичара је било премало интересовања за теорију вјероватноће. Енглески логичар Џон Вен (John Venn, 1834 – 1923.), француски економиста Аугустин Курно (Antoine Augustin Cournot, 1801 – 1877.) и амерички логичар Чарлс Перс (Charles Sanders Peirce, 1839 - 1914), сва тројица по основном образовању математичари, су проширивали Болцманов концепт релативне фреквенције. Хенри Поенкаре (Jules Henri Poincaré, 1854 – 1912.) је написао један есеј о случајности, као и Перс. У Доктрини случајности (наслов је украо од Моавра и Бајеса), Перс у афекту тврди да "све што се може десити то ће се и десити"; тако да осигуравајућа друштва на крају морају банкротирати!

То је био период (1830-1860.) појаве удружења за статистику. Прво је формирано Лондонско краљевско удружење за статистику (London Royal Statistical Society, 1833.), друго најстарије је Америчко (American Statistical Association, Boston, 1839.), затим Париско (Société de Statistique de Paris, 1860). Сва су имала за циљеве унапређење развоја науке, образовања, економије.

Утемељитељ статистичких метода у друштвеним наукама, а познат и као оснивач опсерваторије у Бриселу Адолф Кветелет (Lambert Adolphe Jacques Quételet, 1796-1874.) био је фламански математичар, астроном, статистичар и социолог. У разматрању индуктивног закључивања, Кветелет је тврдио да ако се неки догађај (нпр. плима) десио m пута, вјероватноћа да ће се опет десити је (m+1)/(m+2). Тако је за непознати догађај (m=0) вјероватноћа 1/2, што је можда преузето од Бифонове логике из претходног вијека.

У овом периоду (1860-1880.) су се појавила још два важна подручја примјене. Вјероватноћа се почела примјењивати у физици, у теорији гасова, која је прерасла у статистичку механику. Затим у биометрици. Максвел (James Clerk Maxwell, 1831 - 1879.) је направио преокрет у науци својим електро-магнетном теоријом, али и кинетичком теоријом гасова гдје је користио Нормалну дистрибуцију из статистике, чини се под утицајем Кветелета.

Физичар Лудвиг Болцман (Ludwig Boltzmann, 1844 - 1906.) и амерички математичар Гибс (Josiah Willard Gibbs, 1839 - 1903.) трансформисали су Максвелову пробабилистичку теорију гасова у статистичку механику. Физичар и психолог Фечнер (Gustav Theodor Fechner, 1801-1877.) као добар експериментатор установио је касније назван Вебер-Фечнеров закон о опажајима, заснован на вјероватноћи. Љекар и математичар Галтон (Francis Galton, 1822 - 1911.), заинтересован за проблеме биолошког наслеђивања, написао је много прилога статистици. Користио је концепт корелације који је открио Огист Браве (Auguste Bravais, 1811 - 1863.) француски физичар и један од оснивача кристалографије као научне дисциплине. Доприносе овој области су давали и Рафаел Велдон (Walter Frank Raphael Weldon, 1860 - 1906.) енглески биолог и оснивач биометрије; амерички актуар (бавио се ризиком добити) Мклинток (Emory McClintock, 1840 – 1916.). Руски математичар Чебишев (Pafnuty Lvovich Chebyshev, 1821-1894.) је познат по истраживањима у вјероватноћи, теорији бројева, механици, по ортогоналним полиномима које је он открио. Оснивач је математичке школе у Сан Петесбургу.

У слиједећем периоду (1880-1900.) обликовала се енглеска статистичка школа. Егеворт (Francis Ysidro Edgeworth, 1845 - 1926.) из Даблина био је адвокат, економиста и статистичар. Уређивао је (Economic Journal, 1891–1926.). Био је јак у математици, па је његов рад Методе етике (New and Old Methods of Ethics, 1877.) са пуно рачуна варијација одвраћао заинтересоване читаоце. У свом најпознатије дјелу Математичка психологија (Mathematical Psychics, 1881.) представио је функцију корисности, криву индиферентности и криву слагања, које су све три касније постале стандрадне у економској теорији. Математичари тог периода нису били заинтересовани за проучавање игара на срећу, или коцкања, осим Пеарсона.

Karl Pearson

Математичар Карл Пеарсон (Karl Pearson, 1857-1936.) је један од тадашњих рјетких чистих статистичара. Пеарсон се бавио биометриком и примјењеном математиком. Дефинисао је нормалну криву и стандардну девијацију (1893.). Аутор је изванредне расправе: "Научни аспекти рулета Монте Карло". Данас је познат по Пеарсоновој кривој, корелацији, методи момената, и хи-квадрат тесту , за утврђивање подударања низова случајних бројева, којега је независно смислио 1900. Иначе, хи-квадрат тест оригинално потиче од њемачког геодете Хелмерта (Friedrich Robert Helmert, 1843 – 1917.) из 1875.

Током друге половине 19. вијека, иницијативу у развоју теорије вјероватноће су преузели руски математичари. Виктор Буњаковски (Виктор Яковлевич Буняковский, 1804 - 1889) је био члан, а касније и потпредседник, Петерзбуршке академије наука. Промовисао је примјену теорије вјероватноће у статистици, актуарској науци и демографији. Иначе је радио на теоријској механици и теорији бројева, а приписује му се и рано откриће Коши-Шварцове неједнакости (лема Коши-Шварц-Буњаковског), јер ју је доказао за случај бесконачне димензије 1859. године, много година прије Шварцовог рада на тој области.

Пафнути Чебишев (Пафну́тий Льво́вич Чебышёв, 1821 - 1894.) је руски математичар, студент Московског универзитета. Чебишев је радио на теорији бројева, да би 1850. доказао тзв. Бертранов постулат да за n > 3 постоји најмање један прост број између n и 2n−2. Међутим, данас је најпознатији по својим радовима у теорији вероватноће. Поопштио је Бернулијеву теорему закона великих бројева и основао утицајну руску, петроградску школу теорије вјероватноће. Два од његових најпознатијих студената били су Александар Љапунов (Алекса́ндр Миха́йлович Ляпуно́в, 1857 - 1918.) руски математичар (централни гранични теорем) и механичар, члан Петербургске академије наука, и А. А. Марков, гласовит по својим уланчаним варијаблама, а о којем ћемо касније више рећи. Чебишев, Љапунов и Марков су заједно промовисали употребу широко значајног концепта случајне промјенљиве.

Теорија вјероватноће је у 20. вијек улазила са Бертрандом Раселом (Bertrand Arthur William Russell, 1872 - 1970.), британским филозофом и математичарем, добитником Нобелове награде за књижевност 1950. године, и Џоном Кејнсом (John Maynard Keynes, 1883 — 1946.) енглеским економистом чије су радикалне идеје имале огроман утицај на модерну економију и политичку теорију. Обојица су радили на установљењу теорије вјероватноће као "независне и дубоке науке од велике практичне важности са својим посебним методама истраживања". У својим Принципима математике (Principia Mathematica, 1903.) Лорд Расел је комбиновао формалну логику са теоријом вјероватноће. Кејнс је био успјешан коцкар који је оштро напао концепт вјероватноће као фреквенције и развио процедуре индуктивног утицаја, започет од Бернулија и Лапласа. Вилфредо Парето (Vilfredo Federico Damaso Pareto, 1848 - 1923) је дао сличне доприносе у математичкој економији (слиједећи Леона Валраса (Marie-Esprit-Léon Walras, 1834 - 1910.)) и у социологији.

20. вијек

У годинама које су претходиле 1. свјетском рату, вјероватноћа и статистика су се шириле у свим правцима, да би се током самог рата сва таква истраживања скоро зауставила. Британски статистичар Јуле (G. Udny Yule, 1871 - 1951.) је од 1893. радио за Пеарсона на теорији корелације и регресије, да би послије 1900. развио паралелну теорију асоцијације атрибута.

Француски математичар и политичар Емил Борел (Félix Édouard Justin Émile Borel, 1871 - 1956.) је наговјестио повезивање теорије мјере реалних функција са теоријом вјероватноће. Својим радом (Sur probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques, 1909.) означио је почетак модерне теорије вјероватноће. Током 20-их година, Борелове идеје су, поред осталих разрадили Хинчин, Колмогоров, Слутски и Леви. Борел је 1921. први примјенио математичку теорију у стратегији игре, посебно Бриџа (contract bridge). Такође је покушавао примјенити теорију вјероватноће у социологији, моралу и етици, а убјеђивао је да људски ум не може имитирати случајност.

Математичари са почетка 20. вијека
Андреј Марков	Госет - Студент	Роналд Фишер	Паул Леви

Руски математичар Марков (Андре́й Андре́евич Ма́рков, 1856-1922.) је провео читав радни вијек на Универзитету Сан Петерсбург. Показао је како Чебишљева неједнакост може бити примјењена на зависне случајне промјенљиве. Установио је Централни гранични теорем и Закон о великим бројевима. То га је касније довело до Марковљевих ланаца. Написао је утицајну књигу Теорија вјероватноће, из које је термин Марковљев теорем и, касније, Гаус-Марков теорем.

Енглески хемичар, пивар и статистичар Госет (William Sealy Gosset, 1876 – 1937.) након свог рада на Студентовој т-дистрибуцији остао је познат као Студент. У свом првом објављеном папирут поново је открио Поисонову расподјелу (из 1830.). Затим је 1908. објавио два папира о малом узорку дистрибуција, са нормалном средином и нормалном корелацијом. Писао је и о другим темама, попут лажне корелације (spurious correlation - Пеарсонов термин: корелација између u = x/z и v = y/z је је лажна за корелацију између x и y). Радио је за Гинса који је имао политику да не објављује резултате компанијских истраживања, али је Госет имао привилегију да користи псеудоним Студент.

Фишер (Ronald Aylmer Fisher, 1890 - 1962.) је био енглески статистичар и биолог. Најпознатији је по отркићу свог Фишеровог статистичког теста и Фишерове једначине. Дански историчар статистике Халд (Anders Hald, 1913 – 2007.) назвао је Фишера "геније који је скоро без ичега креирао основе савремене статистичке науке", док га је британски биолог Давкинс (Clinton Richard Dawkins, рођ. 1941.) назвао "највећим биологом послије Дарвина".

Француски математичар Леви (Paul Pierre Lévy, 1887 - 1971.) рођен је у фамилији математичара. Његове главне књиге су Лекције из функционалне анализе (Leçons d'analyse fonctionnelle, 1922.), Израчунавање вјероватнће (Calcul des probabilités, 1925.), Теорија додавања случајне промјенљиве (Théorie de l'addition des variables aléatoires, 1937-54.), и Стохастички процеси и Брауново кретање (Processus stochastiques et mouvement brownien, 1948.).

Математичари прве половине 20. вијека
Ричард Мизес	Харолд Џефри	Норберт Винер	Александар Хинчин

Од 1938. Харвардски професор Мизес (Richard von Mises, 1883 - 1953.) се школовао у Бечу, а бавио се различитим примјенама у математици. У физици је познат по фон Мизеовој дистрибуцији, радио је на централној граничној теореми, али је најпознатији по књизи Основе вјероватноће (Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung, 1919.). Објавио је још радова о вјероватноћи, рецимо, популарну књигу (Probability, Statistics and Truth, 1928.) и једну свеобухватну (1931.). Необично је да је његов начин закључивања у вјероватноћи био Бајесов.

Примјењени математичар и физичар Џефри (Harold Jeffreys, 1891 - 1989.) је био први статистичар који је користио само Бајесове методе. Између 19. и 23. је објавио низ папира у стилу филозофа са Кембриџа Бајесовог стила. Од почетка је у вјероватноћи користио методу најмањих квадрата, али је од 1930. осмислио и друге методе. Његов обиман емпиријски рад о земљотресима био је са новозеланђанином Буленом (Keith Edward Bullen, 1906 - 1976.). Такође, проучавао је статистике Фишера и прилагодио неке његове концепте и терминологију.

Математичар Винер (Norbert Wiener, 1894 - 1964.) је провео свој радни вијек на Универзитету "MIT" у САД. Бавио се Брауновим кретањем (Винеров процес), први је употребио Данијелов интеграл, поопштио је хармонијску анализу којом је математички моделирао спектар, развио је "периодограм" за 26-о дневне периодичне метеоролошке феномене. Пуно Винеровог рада је паралелно са радом руских математичара Хинчина и Колмогорова.

Александар Хинчин (Алекса́ндр Я́ковлевич Хи́нчин, 1894 – 1959.) био је једна од најважнијих фигура совјетске школе теорије вјероватноће. Прво је почео да се бави анализом, јер прије њега и Колмогорова није било традиције у вјероватноћи до које је дошао преко теорије бројева. Нашао је строги Закон великих бројева. Радио је на низовима независних случајних варијабли, теорији стохастичких процеса и на стационарним процесима. Објавио је књигу примјена својих техника на статистичку механику (Mathematical Principles of Statistical Mechanics, 1943.). Дао је допринос и Шеноновој теорији информације (Mathematical Foundations of Information Theory, 1950).

У периоду 1930-1940. упркос несрећне економске и политичке ситуације дешавао се значајан развој вјероватноће и примјена. У Совјетском Савезу су математичари прошли боље од економиста или генетичара и могли су објављивати радове у страним часописима и путовати вани. Тако су Хинчин и Колмогоров објављивали у њемачком периодичњаку (Mathematische Annalen). Јеврејима је у њемачкој забрањен академски рад од 1934.

Математичари средине 20. вијека
Андреј Колмогоров	Јерци Нојман	Хералд Крамер	Бруно Финети

Аксиоматско заснивање теорије вјероватноће је започео Сергеј Бернштајн (Серге́й Ната́нович Бернште́йн, 1880 - 1968.), руски совјетски математичар, поред вјероватноће познат и по доприносима у парцијалним диференцијалним једначинама, диференцијалној геометрији и теорији апрроксимација. Његова Теорија вјероватноће (1927.) се уводи са три аксиома: о упоредивости вјероватноћа, о дисјунктним догађајима и о комбинацији догађаја. Његов рад је бриљантно довршио Колмогоров.

Руски математичар Колмогоров (Андре́й Никола́евич Колмого́ров, 1903-87.) је свакако најзначајнија фигура вјероватноће не само 20. вијека. Много је урадио и у другим областима математике. Колмогоров је као и Хинчин био Лузинов (Никола́й Никола́евич Лу́зин, 1883 - 1950.) студент на Московском универзитету. Од 1924. њих двојица су почели радити заједно на Закону итерације логаритма (law of the iterated logarithm, 1941.) који су у Енглеској засновали Хартман (Philip Hartman) и Винтер (Aurel Wintner), и на јаком Закону великих бројева (law of large numbers), теореми са дугом историјом која почиње од Џејмса Бернулија (1713.). Колмогоров је најпознатији по својој књизи Основе теорије вјероватноће (Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, 1933.) гдје је изнио аксиоматску поставку, након чега је могао ригорозно обрадити стохастичке процесе. У Аналитичким методама теорије вјероватноће (Analytical methods in probability theory, 1931.) је објавио Чапман-Колмогорвљеве једначине и поставио основе теорије Марковљевих процеса. Паралелно са Винером, 1941. Колмогоров је развио теорију предвиђања за случајне процесе. Касније, 1960. са вратио на фон Мисесову теорију вјероватноће и развио је у правцу сложених алгоритама. У статистици је дао Колмогоров-Смирнов тест.

Нојман (Jerzy Neyman, 1894 - 1981.) је био пољско-амерички математичар и статистичар који је углавном радио на Берклију, калифорнијском универзитету. Школован је на традицоналној руској теорији вјероватноће. Био је заинтересован за чисту математику. На британској статистичкој сцени се појавио 1925. када се придружио Пеарсоновој лабораторији, гдје је почео са радом на тестирању хипотеза. До 1933. са Егоном Пеарсоном (сином Карла Пеарсона) је представио општу теорију тестирања и Нојман-Пеарсонову лему. Самостално се бавио процјенама, интервалима повјерења, експериментима у пољопривреди (у Пољској), теоријом узорака. У почетку је имао добре односе са Фишером, али је касније постао приврженији класичном приступу статистичком закључивању. На UCL департмент је прешао 1934, а на Беркли 1938, гдје је изградио веома јаку екипу о којој је писао Леман (Erich Lehmann: "Reminiscences of a Statistician", 2007.).

Хералд Крамер (Carl Harald Cramér, 1893 - 1985.) је шведски математичар и статистичар. Студирао је, а касније и радио на Универзитету у Штокхолму. Бавио се примјеном математике на осигурања и чистом математиком у теорији бројева. Његова књига о случајним варијаблама (Random Variables and Probability Distributions, 1937.) је названа "првом модерном књигом о вјероватноћи на енглеском језику". Под утицајем руса Хинчина и Колмогорова је написао и књигу Математичке методе у статистици (Mathematical Methods of Statistics, 1945.). Познат је по превођењу израза теорије вјероватноће на енглески, по открићу Крамер-Рао неједнакости, даљој разради стохастичких процеса.

Бруно Финети (Bruno de Finetti, 1906-85.) био је италијански математичар који се бавио вјероватноћом, статистиком и проблемима финансијске неизвјесности и ризика (актуар). Био је веома плодан, објавио је око 300 радова који су привукли нарочито много пажње од филозофа.

Вилијам Фелер (William Feller, 1906-70.) био је математичар Американац јеврејског порјекла рођен у Загребу, специјализован у теорији вјероватноће.

Јосеф Доб (Joseph Leo Doob, 1910 - 2004.) био је амерички математичар који је радио на теорији вјероватноће и теорији мјере.

Француски професор Фречет (Jean M.J. Fréchet, 1944. -) је 1930-их генералисао класичну теорију вјероватноће као примјену својих апстрактних простора.

Џон фон Нојман (John von Neumann, 1903 - 1957.) je био мађарско-амерички математичар и научник који је дао допринос квантној физици, функционалној анализи, теорији скупова, топологији, информатици, економији, нумеричкој анализи, хидродинамици, статици и многим другим сличним пољима. Он је 1928. на папиру о стратегији покера доказао Минимакс принцип, данас фундаментални теорем теорије игара. Касније је заједно са Оскаром Моргенштајном (Oskar Morgenstern, 1902 – 1977.) развио концепт теорије игара (The Theory of Games and Economic Behaviour, 1944.). Арсеналу теорије игара су још касније додате и квантне стратегије.

Шпански физичар Јуан Парондо (Juan Manuel Rodríguez Parrondo, 1964. -) је 1996. открио тзв. Парондов парадокс, стратегију да се губећи може побједити. Када су пред вама двије игре, свака са већом вјероватноћом да изгубите него да побједите, можете конструисати добитничку стратегију играјући те игре наизмјенично.

Референце

• Приредио: --Vukovic 06:29, 29. фебруар 2012. (MST)
  • Abraham_De_Moivre / summary eng
  • Abraham_De_Moivre: ON THE LAW OF NORMAL PROBABILITY, 1733.
  • Christiaan Huygens: De Ratiociniis in Ludo Aleae / eng, 1714.
  • Leonhard Euler: Calculus of the probability in the game of Rencontre, 1751.
  • Buffon: Essai d’Arithmetique Morale / eng, 1777.
  • Pierre Simon Laplace: Théorie Analytique des Probabilités / eng, 1812.
  • A. Kolmogorov: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, 1933.
  • A. Kolmogorov: FOUNDATIONS OF THE THEORY OF PROBABILITY / eng, 1956.
  • ON THE CONCEPT OF A RANDOM SEQUENCE of Von Mises / eng
  • A LAW OF THE ITERATED LOGARITHM FOR ARITHMETIC FUNCTIONS by ISTVAN BERKES AND MICHEL WEBER, 2007.
  • Law of Large Numbers by Charles M. Grinstead and J. Laurie Snell
  • Biography of Thomas Bayes
  • A History of Statistics in the Social Sciences - Lambert Adolphe Jacques Quetelet, Victoria Coveny 2003.
  • The Official Parrondo's Paradox Page
  • Morley, Henry The life of Girolamo Cardano, of Milan, Physician 2 vols. Chapman and Hall, London 1854.